課題 2次元平板翼に生じるフラッタに関する数値計算 背景 フラッタとは橋や飛行機の翼などが気流のエネルギーを受けて起こす破壊的な振動を指す。図1のように翼が流れ場に置かれたとき、 翼近傍の空気の流れが変化し、それに伴い流体力が変化する。 変化する流体力は翼に振動を与えその振動がさらに翼近傍の空気の流れを変化させるというループができる。 これがいわゆる自励振動といわれるものである。 それらの振動は最悪の場合、図2のような翼の破壊を引き起こす危険性が考えられる。 将来、図3のような超音速機などの開発で空力的な要求から非常に薄い翼の設計が必要となると このフラッタ問題は極めて重要な課題になることが予想される。 そして、実際にフラッタの設計や基礎研究を行う際には一般的に2次元翼のフラッタモデルが多く使用されている。 モデルを使用することによって、フラッタをし始める瞬間（フラッタ限界）の流速を知ることができ、翼の剛性を選択することができる。 しかし、このモデルは特定の条件で使用されることは多いが、広い条件における信頼性の評価はなされていない。 図1. フラッタの仕組み. 図2. フラッタの事故. 図3. 将来の機体. ※ＪＡＸＡより 目的 本研究では、広い条件での2次元翼でのフラッタモデルの信頼性の評価を行うことを目的としている。 そのため、2次元平板翼フラッタモデルのフラッタ限界とNavier-Stokes方程式の支配する数値計算上でのフラッタ限界を比較することによって評価する。 先行研究 地上に静止している翼に各欄を与えても誘起された振動は時間とともに減衰するが（これを正減衰という）、翼が受ける空気の流れが速くなると、空気力は負減衰となり、振動が発生する。 正減衰と負減衰との境目に減衰力が0となり、調和振動を持続する点があり、この点をフラッタ限界という。 J.H.Greidanusは1949年にフラッタ方程式から非圧縮非粘性下での流体が平板翼に与える仕事を導出し、この仕事からエネルギー収支が0となるフラッタ限界を示したグラフを作成した。 図4には実際にGreidausが作成したグラフを示している。 ここで、このグラフは角周波数を無次元化した無次元周波数をパラメータとして作成されている。 このグラフは、曲線状の点がフラッタ限界、曲線外が正減衰、曲線内が負減衰であることを表している。 図4. J.H.Greidanusのフラッタ限界のグラフ. 理論 図4は、J.H.Greidanusが1949年に発表したものであり、具体的な計算過程や数値が残っていない。 そこで、このグラフを作成する計算過程を簡単に記載する。 ここでは、図5のような2自由度のフラッタモデルについて考える。 図5. 平板翼におけるフラッタモデル. 非定常空気力学の示すとことによると、振動数$ω$で調和的に並進振動$h$と、前縁から$b(1+a)$の点まわりの回転振動$α$を行う二次元平板翼に作用する空気力は式(1)、(2)のように表すことができる. ここで，$L$は揚力、$M$はピッチ軸周りのモーメト、$k$は無次元周波数、$C(k)=F(k)+iG(k)$はTheodorsen関数である。 式(1)、(2)より、MCK型の二次元平板翼のフラッタ方程式を作成できる。 この方程式を解くことによって、式(3)に示すような振動1周期の翼が空気に与える仕事$E$を算出することができる。 Greadanusはこれを整理し、仕事$E$を1周期で割った平均仕事$\bar{E}$から以下のような係数$C_E$を求め、$C_E=0$となる時の$ξ$と位相差$ϕ$の関係を示した。 図6に、この式より作成したフラッタ限界のグラフを示している。これは、図4に示したGreadanusのグラフに一致していることが分かる。 このグラフを活用して数値計算・実験を行うことで、理論的にフラッタを解釈できるようになる。 図6. 各無次元周波数ごとのフラッタ限界. 数値計算結果 本研究では、数値計算で平板翼を強制振動によって所望の条件のフラッタを再現した。 図7には、計算条件を図8上にプロットしたものを示している。 図7. 計算条件. まず初めに、位相差を固定した丸いプロット上での無次元仕事を比較した。 その結果を図8に示している。 ここにあるように、数値計算での無次元仕事と理論値における無次元仕事の傾向にほとんど違いがないことから、数値計算の妥当性を確認することができた。 図8. 位相差を固定した場合の数値計算結果. 次に、フラッタ限界上（図9緑点）での無次元仕事の比較を行った。 その結果を図9に示している。まずは、理論値を図9の青線で示しているが、今回はフラッタ限界上の条件なので全て0になることが分かる。 そして、同様の条件での数値計算を行ったところ、図9の赤い実線で示しているように全て負の値となることが分かった。 そこで、数値計算上でのフラッタ限界を確かめるべく、先ほどの条件（フラッタ限界上の条件）の$ξ$に$+0.1$した、フラッタ限界内部の条件で再度数値計算を行った。 その結果を図9の赤い破線で示している。 この条件では無次元仕事は全て正になっていることから、数値計算でのフラッタ限界はモデルによるフラッタ限界の$ξ+0.1$未満の領域にあることが予想される。 図9. フラッタ限界上の数値計算結果.